Abstrakt

V předložené práci studujeme teorie v jazyce aritmetiky L rozšířeném o jeden binární funkční symbol s významem exponenciály. Pro libovolnou teorii v jazyce aritmetiky pak lze zavést její rozšíření v tomto novém jazyce L_e přidáním dodatečných axiomů postulujících základní vlastnosti exponenciály. Používáme dva soubory axiomů pro exponenciálu – Exp₁ a Exp₂. V teoriích, kterými se zabýváme, je tedy vždy exponenciála zavedena axiomaticky.

Ukazujeme, že v takových teoriích není velká Fermatova věta dokazatelná, a to v podstatě bez ohledu na sílu původní teorie. V práci zavádíme obecnou parametrickou metodu konstrukce exponenciály v modelech aritmetiky spočívající v "rozložení" nějaké původní exponenciály na kratší úseky a jejich opětovném sestavení do exponenciály splňující požadované vlastnosti. Jako aplikace této metody jsou pak uvedeny tři konzistenční výsledky týkající se silnějších verzí negace velké Fermatovy věty.

Prvním výsledkem je konstrukce modelu v práci definované aritmetiky Ar + Exp₁, v němž má rovnice x^α + y^α = z^α nenulové řešení pro kofinálně mnoho exponentů α. Druhý výsledek umožňuje expandovat libovolný model teorie IΣ₁ do modelu teorie Exp₂, ve kterém je Fermatova věta opět porušena kofinálně mnoha exponenty. Třetím výsledkem je konstrukce modelu teorie ThL(N) + Exp₂, v němž nastává x^α + y^α = z^α pro kofinálně mnoho exponentů α i kofinálně mnoho trojic po dvou nesoudělných x, y, z. V rámci této konstrukce dokazujeme tvrzení o prvočíslech ve standardním modelu. V jeho důkazu využíváme výsledek T. Estermana, podle něhož jsou skoro všechna sudá čísla součty dvou prvočísel.

Klíčová slova

Velká Fermatova věta, Peanova aritmetika, nezávislost